В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB=14, tg A = 4√2 / 7. Найдите длину стороны АС.

В данном треугольнике АВС известно, что АС = BC, что означает, что треугольник равнобедренный. Угол A равен углу B.

Дано:

• AC = BC (равнобедренный треугольник)
• AB = 14
• \( \text{tg} A = \frac{4\sqrt{2}}{7} \)

Найдем длину стороны AC.

Проведем высоту CD из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, D — середина AB.

AD = DB = AB / 2 = 14 / 2 = 7.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем:

• Угол D = 90 градусов.
• AD = 7.
• \( \text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD} \)

Нам известно \( \text{tg} A = \frac{4\sqrt{2}}{7} \) и AD = 7. Подставим эти значения:

\( \frac{4\sqrt{2}}{7} = \frac{CD}{7} \)

Отсюда находим CD:

CD = \( \frac{4\sqrt{2}}{7} \) \(\cdot\) 7 = \(4\sqrt{2}\)

Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC, найдем гипотенузу AC:

AC^2 = AD^2 + CD^2

AC^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2

AC^2 = 49 + (16 \(\cdot\) 2)

AC^2 = 49 + 32

AC^2 = 81

AC = \(\sqrt{81}\)

AC = 9

Ответ: 9