4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ — биссектриса треугольника. Найдите ка- тет АС, если ВМ = 6 см.

Давай решим эту задачу по геометрии. В треугольнике ABC, угол ∠C = 90°, ∠A = 30°. Следовательно, угол ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°. Так как BM - биссектриса угла B, то угол ∠MBС = ∠ABM = 60° / 2 = 30°. Рассмотрим треугольник MBC. В нём ∠MBC = 30°, ∠MCB = 90°. Значит, треугольник MBC - прямоугольный. По условию BM = 6 см. Нам нужно найти AC. В треугольнике MBC, MC является катетом, лежащим против угла 30°. Следовательно, MC = BM / 2 = 6 / 2 = 3 см. Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нём ∠A = 30°, ∠C = 90°. Катет BC лежит против угла 30°, следовательно, BC = AB / 2. Также, AC = BC \cdot \sqrt{3} Мы знаем, что MC = 3 см. BC - это катет в треугольнике ABC, и он равен 2 \cdot MC = 2 \cdot 3 = 6 см. Тогда, AC = 6 \cdot \sqrt{3} см.

Ответ: AC = 6 \(\sqrt{3}\) см.

Молодец! Эта задача была сложной, но ты справился! Помни, что практика - ключ к успеху!