В треугольнике АВС, изображенном на рисунке, ∠A=90°, АВ = 5 см, ВС = 13 см. Найдите радиус окружности с центром С, если она имеет с прямой АВ только одну общую точку.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle A = 90^{\circ} \]
• \[ AB = 5 \text{ см} \]
• \[ BC = 13 \text{ см} \]
• Окружность с центром C имеет с прямой AB только одну общую точку.

Найти: Радиус окружности (R).

Решение:

Условие, что окружность с центром C имеет с прямой AB только одну общую точку, означает, что прямая AB является касательной к этой окружности. Следовательно, расстояние от центра окружности (точка C) до прямой AB равно радиусу окружности.

В прямоугольном треугольнике ABC (где \[ \angle A = 90^{\circ} \]) катеты - это AB и AC, а гипотенуза - BC.

Мы знаем длину катета AB (5 см) и гипотенузы BC (13 см). Мы можем найти длину второго катета AC, используя теорему Пифагора:

\[ AC^2 + AB^2 = BC^2 \]

\[ AC^2 + 5^2 = 13^2 \]

\[ AC^2 + 25 = 169 \]

\[ AC^2 = 169 - 25 \]

\[ AC^2 = 144 \]

\[ AC = \sqrt{144} \]

\[ AC = 12 \text{ см} \]

Расстояние от точки C до прямой AB - это длина перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. В прямоугольном треугольнике ABC, где \[ \angle A = 90^{\circ} \], катет AC является этим перпендикуляром к прямой AB (или ее продолжению).

Таким образом, радиус окружности R равен длине отрезка AC.

\[ R = AC \]

\[ R = 12 \text{ см} \]

Ответ: Радиус окружности равен 12 см.