В треугольнике АВС дано: ∠C=90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причём СК = 12 см. Найдите КМ.

Решение:

1. Найдем длину гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике АВС по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)

\( AB = \sqrt{100} = 10 \) см.

2. Так как СМ — медиана, то она делит гипотенузу АВ пополам. Найдем длину медианы СМ. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

\( CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 10 = 5 \) см.

3. Прямая СК перпендикулярна плоскости треугольника АВС. Это значит, что СК перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку С. В частности, СК перпендикулярна СМ.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник СКМ. СК — катет, СМ — катет, КМ — гипотенуза.

5. Найдем длину гипотенузы КМ по теореме Пифагора:

\( KM^2 = СК^2 + CM^2 \)

\( KM^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \)

\( KM = \sqrt{169} = 13 \) см.

Ответ: 13 см.