В треугольнике АВС через точку Е, которая делит сторону АС в отношении 7 : 6, считая от вершины А, проведены прямые, параллельные АВ и ВС. Прямая, параллельная АВ, пересекает ВС в точке Р, а параллельная ВС пересекает АВ в точке К. Известно, что AB = 78. Найдите длину отрезка АК.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( E \) на \( AC \) такая, что \( AE : EC = 7 : 6 \). \( EK \parallel BC \) (\( K \) на \( AB \)). \( EP \parallel AB \) (\( P \) на \( BC \)). \( AB = 78 \).

1. Найдём длину отрезка АК.

Так как \( EK ‖ BC \), то \( \triangle AKE – и ст ивен подобия \) \( \triangle ABC \) по двум углам ( \( ∠ A \) - общий, \( ∠ AKE = ∠ ABC \) как соответственные при \( EK ‖ BC \) и секущей \( AB \)).

Коэффициент подобия \( k = \frac{AE}{AC} = \frac{7}{7+6} = \frac{7}{13} \).

Значит, \( \frac{AK}{AB} = k = \frac{7}{13} \).

\( AK = AB · \frac{7}{13} = 78 · \frac{7}{13} = 6 · 7 = 42 \).

2. Найдём длину отрезка РЕ.

Рассмотрим четырёхугольник \( AKPE \). \( EK ‖ AP \) (так как \( EK ‖ BC \), а \( P \) лежит на \( BC \)) и \( EP ‖ AK \) (так как \( EP ‖ AB \), а \( K \) лежит на \( AB \)).

Таким образом, \( AKPE \) — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны: \( PE = AK \) и \( EP = AK \).

Мы уже нашли \( AK = 42 \).

Следовательно, \( PE = AK = 42 \).

Ответ: 42