В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 92. Найдите стороны треугольника АВС.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Дано: ABC.

BE - биссектриса, AD - медиана.

AD = 92, BE = 92, AD⊥BE

Найти: AB, BC, AC.

Решение:

∠AOE = ∠BOD (как вертикальные).

AD = BE (по условию).

Пусть AO = OD (так как AD - медиана)

Тогда ΔAOE = ΔBOD (по стороне и двум прилежащим углам).

Следовательно, AO = OD = OE = OB.

Тогда O - точка пересечения медиан, и BO - тоже медиана.

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Тогда BO = 2OE.

Тогда BE = BO + OE = 2OE + OE = 3OE.

OE = BE/3 = 92/3.

BO = 2 * (92/3) = 184/3.

Рассмотрим прямоугольный ΔABO:

AO² + BO² = AB²

(92/3)² + (184/3)² = AB²

AB² = (92² + 184²)/9 = (8464 + 33856)/9 = 42320/9

AB = √(42320/9) = (√(42320))/3 = (4√(2645))/3

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

BO - медиана. Тогда AC = 2 * BO = 2 * (184/3) = 368/3.

Так как AD - медиана, то BD = CD. Но CD = BD. Треугольник равнобедренный.

AC = BC = 368/3.

Ответ: AB = (4√(2645))/3, BC = 368/3, AC = 368/3.