В треугольнике АВС биссектриса CN и высота ВН пересекаются под углом 80 найдите ВАС если АВН : CBH = 1:2

Смотри, как это работает:

Пошаговое решение:

1. Обозначим угол АВН за х, тогда угол СВН будет равен 2х.
2. Угол между биссектрисой CN и высотой ВН равен 80°. Рассмотрим треугольник ВНС. Угол ВНС = 90° (так как ВН - высота).
3. В треугольнике ВНС: угол СВН = 2х, угол ВСН = 90° - 2х.
4. Рассмотрим треугольник, образованный пересечением CN и BH. Угол между CN и ВН равен 80°, значит угол между CN и ВС равен 10° (так как угол ВНС = 90°).
5. Тогда угол NCH = угол ВСН - 10° = (90° - 2х) - 10° = 80° - 2х.
6. CN - биссектриса, значит угол ACB = 2 * угол NCH = 2 * (80° - 2х) = 160° - 4х.
7. В треугольнике АВС: угол ВАС + угол АВС + угол АСВ = 180°.
8. Угол АВС = угол АВН + угол СВН = х + 2х = 3х.
9. Значит, угол ВАС = 180° - угол АВС - угол АСВ = 180° - 3х - (160° - 4х) = 20° + х.
10. Рассмотрим треугольник АВН. В нём угол АВН = х, угол ВНА = 90°, значит угол ВАН = 90° - х.
11. Получаем уравнение: 20° + х = 90° - х
12. 2х = 70°
13. х = 35°
14. Тогда угол ВАС = 20° + 35° = 55°

Ответ: 55°