5. В треугольнике АВС АВ=ВС. На сторонах АВ и СВ соответственно выбраны точки А₁ и С₁ так, что ∠ВСА₁=∠ВАС₁. Докажите, что ΔАА₁C=ΔCC₁A.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = BC. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

На сторонах AB и CB выбраны точки A₁ и C₁ соответственно, так что ∠BCA₁ = ∠BAC₁.

Рассмотрим треугольники AA₁C и CC₁A:

1. AC - общая сторона.
2. ∠BAC = ∠BCA (так как треугольник ABC равнобедренный).
3. ∠BCA₁ = ∠BAC₁ (по условию).

Значит, ∠BAC - ∠BAC₁ = ∠BCA - ∠BCA₁

Следовательно, ∠CAC₁ = ∠ACA₁.

Также:

AB = BC (так как треугольник ABC равнобедренный).

BA₁ = AB - AA₁

BC₁ = BC - CC₁

Из ∠BCA₁ = ∠BAC₁ следует, что треугольники AA₁B и CC₁B подобны (или равны). Если они подобны, то AA₁ = CC₁.

Тогда треугольники AA₁C и CC₁A равны по стороне (AC) и двум прилежащим углам (∠CAC₁ = ∠ACA₁ и ∠BAC = ∠BCA).

Следовательно, ΔAA₁C = ΔCC₁A.

Ответ: ΔAA₁C=ΔCC₁A (доказано).