В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 20, высота АН равна 8. Найдите синус угла ВАС.

Рассмотрим треугольник AHC, он прямоугольный, так как AH - высота. Тогда $$\sin{\angle BAC} = \frac{HC}{AC}$$

Выразим HC через AB, т.к. треугольник ABC равнобедренный, то AH является и медианой. Значит $$HC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$$

Найдем AC по теореме Пифагора из треугольника AHC:

$$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$$

Тогда

$$\sin{\angle BAC} = \frac{HC}{AC} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}} = \frac{5\sqrt{41}}{41}$$

Ответ:$$\frac{5\sqrt{41}}{41}$$