В треугольнике АВС AC=BC, AB=12, высота АН равна 9. Найдите синус угла ВАС.

Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, так как AH - высота.

По теореме Пифагора найдем BH:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12^2 - 9^2} = \sqrt{144 - 81} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$$

Выразим косинус угла B из треугольника ABH:

$$cos(B) = \frac{BH}{AB} = \frac{3\sqrt{7}}{12} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

Угол B равен углу A, так как треугольник ABC равнобедренный (AC=BC). Следовательно, cos(A) = $$ \frac{\sqrt{7}}{4}$$.

Найдем синус угла A, используя основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2(A) + cos^2(A) = 1$$ $$sin^2(A) = 1 - cos^2(A)$$ $$sin^2(A) = 1 - (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16 - 7}{16} = \frac{9}{16}$$ $$sin(A) = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} = 0.75$$

Ответ: sin(BAC) = 0.75