3. В треугольнике ABD $$\cos D = \frac{1}{15}$$, AD = 5, BD = 3. Найдите сторону AB.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$, где $$a, b$$ - стороны треугольника, $$C$$ - угол между ними, $$c$$ - сторона, противолежащая углу $$C$$.

В треугольнике ABD имеем:

• $$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos D$$
• $$AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{15}$$
• $$AB^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{15}$$
• $$AB^2 = 34 - 30 \cdot \frac{1}{15}$$
• $$AB^2 = 34 - 2$$
• $$AB^2 = 32$$
• $$AB = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$

Ответ: Сторона AB равна $$4\sqrt{2}$$.