3. В треугольнике ABC, высота BD является медианой. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника ABD равен 15 см, высота BD равна 4 см.

Так как BD является медианой, то \(AD = DC\). Периметр треугольника ABD равен \(P_{ABD} = AB + AD + BD = 15\) см. Тогда, \(AB + AD + 4 = 15\), откуда \(AB + AD = 11\) см. Так как BD - высота, то треугольник ABD - прямоугольный. По теореме Пифагора: \(AB^2 = AD^2 + BD^2\) \(AB^2 = AD^2 + 4^2\) \(AB^2 = AD^2 + 16\) Выразим AB через AD из уравнения \(AB + AD = 11\): \(AB = 11 - AD\) Подставим в теорему Пифагора: \((11 - AD)^2 = AD^2 + 16\) \(121 - 22AD + AD^2 = AD^2 + 16\) \(22AD = 121 - 16\) \(22AD = 105\) \(AD = \frac{105}{22}\) см. Тогда \(DC = AD = \frac{105}{22}\) см, а \(AC = AD + DC = 2 \cdot AD = \frac{105}{11}\) см. Найдем AB: \(AB = 11 - AD = 11 - \frac{105}{22} = \frac{242 - 105}{22} = \frac{137}{22}\) см. Теперь найдем BC. Так как BD - высота и медиана, треугольник ABC - равнобедренный \(AB = BC\). \(BC = AB = \frac{137}{22}\) см. Периметр треугольника ABC: \(P_{ABC} = AB + BC + AC = \frac{137}{22} + \frac{137}{22} + \frac{105}{11} = \frac{137 + 137 + 210}{22} = \frac{484}{22} = 22\) см. Ответ: 22 см.