В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP равен 19°. Найдите градусную меру угла АРС.

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен 90°, а стороны AC и BC равны. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Углы при основании AB равны:

\( \angle CAB = \angle CBA = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \)

На стороне AB отмечена точка P, так что \( \angle ACP = 19^{\circ} \).

Найдём \( \angle PCB \):

\( \angle PCB = \angle ACB - \angle ACP = 90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ} \)

Теперь рассмотрим треугольник APC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы знаем \( \angle CAP = \angle CAB = 45^{\circ} \) и \( \angle ACP = 19^{\circ} \).

Угол \( \angle APC \) является внешним углом треугольника BPC. Также мы можем найти \( \angle APC \) как неизвестный угол в треугольнике APC:

\( \angle APC = 180^{\circ} - \angle CAP - \angle ACP = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 19^{\circ} = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ} \)

Ответ: 116°.