В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 6, cos A = 3√13 / 13. Найдите длину стороны ВС.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе.

Дано:

• Треугольник ABC, угол C = 90° (это значит, что треугольник прямоугольный).
• AC = 6.
• \( \cos A = \frac{3\sqrt{13}}{13} \).

Найти:

• Длину стороны BC.

Решение:

Вспомним, что такое косинус в прямоугольном треугольнике. Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В нашем случае, для угла A:

• Прилежащий катет — это AC.
• Гипотенуза — это AB.

Запишем это формулой:

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

Нам известно значение \( \cos A \) и длина катета AC. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину гипотенузы AB:

\( \frac{3\sqrt{13}}{13} = \frac{6}{AB} \)

Теперь выразим AB:

\( AB = \frac{6 \times 13}{3\sqrt{13}} \)

Сократим 6 и 3:

\( AB = \frac{2 \times 13}{\sqrt{13}} \)

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{13} \):

\( AB = \frac{2 \times 13 \times \sqrt{13}}{\sqrt{13} \times \sqrt{13}} = \frac{26\sqrt{13}}{13} \)

Сократим 26 и 13:

\( AB = 2\sqrt{13} \)

Мы нашли длину гипотенузы. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти длину катета BC. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

Подставим известные значения:

\( (2\sqrt{13})^2 = 6^2 + BC^2 \)

\( 4 \times 13 = 36 + BC^2 \)

\( 52 = 36 + BC^2 \)

Вычислим \( BC^2 \):

\( BC^2 = 52 - 36 \)

\( BC^2 = 16 \)

Теперь найдем BC, извлекая квадратный корень:

\( BC = \sqrt{16} \)

\( BC = 4 \)

Ответ:

4