Решение

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). То есть:

$$sin A = \frac{BC}{AB}$$

Нам дано, что $$sin A = \frac{4}{5}$$. Также мы знаем длину катета AC, прилежащего к углу A: AC = 9.

Чтобы найти гипотенузу AB, мы можем использовать косинус угла A, который определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$$cos A = \frac{AC}{AB}$$

Мы знаем sin A, и можем найти cos A, используя основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$

Подставляем известное значение sin A:

$$(\frac{4}{5})^2 + cos^2 A = 1$$

$$\frac{16}{25} + cos^2 A = 1$$

$$cos^2 A = 1 - \frac{16}{25}$$

$$cos^2 A = \frac{9}{25}$$

$$cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

Теперь, зная cos A и AC, можем найти AB:

$$cos A = \frac{AC}{AB}$$

$$\frac{3}{5} = \frac{9}{AB}$$

$$AB = \frac{9 \cdot 5}{3} = \frac{45}{3} = 15$$

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 15.

Ответ: 15