В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, АB = 45, sin A = \(\frac{2}{3}\). Найдите длину отрезка ВН. Ответ:

Ответ: 20

Решение:

Шаг 1: Найдем сторону BC.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\] \[BC = AB \cdot \sin A\] \[BC = 45 \cdot \frac{2}{3} = 30\]

Шаг 2: Найдем сторону AC.

По теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}\] \[AC = \sqrt{45^2 - 30^2} = \sqrt{2025 - 900} = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}\]

Шаг 3: Найдем высоту CH.

Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\] \[AC \cdot BC = AB \cdot CH\] \[CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}\] \[CH = \frac{15\sqrt{5} \cdot 30}{45} = 10\sqrt{5}\]

Шаг 4: Найдем сторону AH.

В прямоугольном треугольнике ACH:

\[AH = \sqrt{AC^2 - CH^2}\] \[AH = \sqrt{(15\sqrt{5})^2 - (10\sqrt{5})^2} = \sqrt{1125 - 500} = \sqrt{625} = 25\]

Шаг 5: Найдем сторону BH.

\[BH = AB - AH\] \[BH = 45 - 25 = 20\]

Ответ: 20