В треугольнике ABC угол B — прямой, BD — высота треугольника, AC = 24 см, AB = 2BD. Чему равен угол C? Найдите AD.

Так как треугольник ABC прямоугольный, высота к гипотенузе выражается формулой:

\[BD=\frac{AB\cdot BC}{AC}.\]

По условию \(AB=2BD\), поэтому:

\[AB=2\cdot\frac{AB\cdot BC}{AC}.\]

Сократим на \(AB\):

\[1=\frac{2BC}{AC},\qquad BC=\frac{AC}{2}=12\text{ см}.\]

По теореме Пифагора:

\[AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{24^2-12^2}=\sqrt{432}=12\sqrt3\text{ см}.\]

Для угла \(C\):

\[\sin C=\frac{AB}{AC}=\frac{12\sqrt3}{24}=\frac{\sqrt3}{2}.\]

Следовательно, \(\angle C=60^\circ\).

Для высоты к гипотенузе справедливо:

\[AB^2=AC\cdot AD.\]

Тогда:

\[AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{(12\sqrt3)^2}{24}=\frac{432}{24}=18\text{ см}.\]

Ответ: \(\angle C=60^\circ\), \(AD=18\text{ см}\).