В треугольнике ABC угол A равен 75°, угол C равен 35°. AM — биссектриса, T — такая точка на AC, что AT = AB. Найдите угол CMT.

Так как AM — биссектриса, ∠CAM = 37,5°. Поскольку T лежит на AC, ∠TAM = 37,5°.

Из условия AT = AB, а по теореме о биссектрисе BM/MC = AB/AC. Используя соотношение сторон треугольника ABC по теореме синусов и теорему косинусов для треугольников ABM и ATM, получаем ∠AMT = 72,5°.

В треугольнике AMC: ∠CMA = 180° − 37,5° − 35° = 107,5°. Луч MT лежит внутри угла CMA, поэтому ∠CMT = ∠CMA − ∠AMT = 107,5° − 72,5° = 35°.

Ответ: 35°.