В треугольнике ABC сторона AB равна 6, а медиана, прове- дённая к этой стороне, равна 4. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точ- ку С и касается AB, причём одна касается в точке A, а дру- гая — в точке B.

Решение:

Пусть CM = 4 – медиана треугольника ABC, AС = a, BC = b. Окружность, проходящая через точку С и касающаяся стороны AB в точке A, обозначим ω1. Окружность, проходящая через точку С и касающаяся стороны AB в точке B, обозначим ω2. Пусть K – точка пересечения этих окружностей, отличная от С. По теореме о касательной и секущей для окружности ω1 имеем

$$AC^2 = AK \cdot AB$$

Аналогично, для окружности ω2 имеем

$$BC^2 = BK \cdot BA$$

Значит,

$$a^2 = AK \cdot 6$$ $$b^2 = BK \cdot 6$$

Пусть CK = x. Рассмотрим треугольники ACK и BCK. В треугольнике ACK угол CAK равен углу CKА (опираются на одну дугу). В треугольнике BCK угол CBK равен углу CKB (опираются на одну дугу). Значит, треугольники ACK и BCK подобны по двум углам. Тогда

$$\frac{AC}{BK} = \frac{AK}{BC} = \frac{CK}{CK} = 1$$

Следовательно, AC = BK и AK = BC. Подставим в уравнения выше:

$$a^2 = b \cdot 6$$ $$b^2 = a \cdot 6$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{a^2}{b^2} = \frac{b}{a}$$ $$a^3 = b^3$$ $$a = b$$

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и медиана CM является также высотой. Выразим AM = MB = AB/2 = 3. Тогда из прямоугольного треугольника AMC можно найти AC:

$$AC = \sqrt{AM^2 + CM^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Тогда AK = BC = 5, BK = AC = 5.

Пусть L – точка пересечения CK и AB. Так как треугольники ACK и BCK подобны, то углы ACK и BCK равны. Следовательно, CK – биссектриса угла ACB. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла ACB является также и медианой, поэтому AL = LB = 3.

Тогда CL = CM = 4, а CK = x.

Рассмотрим треугольники ACL и AKC. У них угол A общий, а углы ACL и AKC равны. Следовательно, треугольники ACL и AKC подобны по двум углам. Тогда

$$\frac{AC}{AK} = \frac{AL}{AC} = \frac{CL}{CK}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{5}{5} = \frac{3}{5} = \frac{4}{x}$$

Таким образом,

$$x = \frac{4 \cdot 5}{3} = \frac{20}{3}$$

Отсюда, CK = 20/3.

Ответ:

Хорда CK = 20/3.

Ответ: 20/3