В треугольнике ABC провели высоту AH. Найдите длину AH, если AB = 6, BC = 7, AC = 8.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника и связью площади с высотой.

1. 1. Найдем полупериметр треугольника ABC:

   \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{6 + 7 + 8}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \]

2. 2. Вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона:

   \[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} \] \[ S = \sqrt{10.5(10.5 - 6)(10.5 - 7)(10.5 - 8)} \] \[ S = \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} = \sqrt{413.4375} \approx 20.33 \]

3. 3. Выразим площадь треугольника через высоту AH и основание BC:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \] \[ AH = \frac{2S}{BC} \]

4. 4. Найдем высоту AH:

   \[ AH = \frac{2 \cdot 20.33}{7} \approx \frac{40.66}{7} \approx 5.81 \]

Ответ: AH ≈ 5.81