В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 15 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC, поэтому \(AM=MC=\frac{15}{2}=7.5\).

Обозначим \(AH=x\), а \(BH=h\). Тогда \(HC=15-x\).

Из прямоугольных треугольников \(ABH\) и \(BCH\):

\[AB^2=x^2+h^2,\qquad BC^2=(15-x)^2+h^2.\]

Поскольку \(M\) — середина основания, \(HM=7.5-x\). Из прямоугольного треугольника \(BHM\):

\[BM^2=(7.5-x)^2+h^2.\]

По условию \(BC=BM\), значит:

\[(15-x)^2+h^2=(7.5-x)^2+h^2.\]

\[(15-x)^2=(7.5-x)^2.\]

Так как длины положительны, получаем \(15-x=7.5-x\) невозможно, а из равенства квадратов следует \(15-x=-(7.5-x)\). Поэтому

\[15-x=x-7.5,\qquad 2x=22.5,\qquad x=11.25.\]

Ответ: 11,25.