В треугольнике ABC проведена медиана BM, а в треугольнике ABM — медиана BN. Известно, что BN = BC, AC = 36, ∠BNC = 60°. Найдите длину стороны BC.

Обозначим \(BC=x\). Так как \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), то \(M\) — середина \(AC\), поэтому \(AM=MC=18\).

Так как \(BN\) — медиана треугольника \(ABM\), точка \(N\) является серединой \(AM\), следовательно, \(AN=NM=9\).

Введём векторы из точки \(N\): пусть \(\vec{NA}=\vec a\), \(\vec{NM}= -\vec a\), где \(|\vec a|=9\), а \(\vec{NB}=\vec b\). Поскольку \(M\) — середина \(AC\), имеем \(\vec{NC}=2\vec{NM}-\vec{NA}=-3\vec a\). Поэтому \(NC=27\).

В треугольнике \(BNC\): \(BN=BC=x\), \(NC=27\), \(\angle BNC=60^\circ\). По теореме косинусов:

\[BC^2=BN^2+NC^2-2\cdot BN\cdot NC\cdot\cos60^\circ.\]

Подставим \(BC=BN=x\):

\[x^2=x^2+27^2-2\cdot x\cdot27\cdot\frac12,\]

\[0=729-27x,\qquad x=27.\]

Ответ: 27.