В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, tgA= √5/2. Найдите длину стороны AC.

Решение:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то углы при основании равны: ∠A = ∠B.
2. Проведем высоту CH к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому AH = HB = AB/2 = 20/2 = 10.
3. В прямоугольном треугольнике ACH тангенс угла A равен отношению противолежащего катета CH к прилежащему AH:
   \[ tg A = \frac{CH}{AH} \]
   \[ \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CH}{10} \]
   \[ CH = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5} \]
4. Теперь найдем длину AC по теореме Пифагора:
   \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]
   \[ AC^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2 = 100 + 25 \cdot 5 = 100 + 125 = 225 \]
   \[ AC = \sqrt{225} = 15 \]

Ответ: 15