В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 30

1. Введение высоты:

   Проведем высоту CH к основанию AB. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то высота CH является и медианой. Следовательно, AH = HB = \(\frac{AB}{2}\) = \(\frac{20}{2}\) = 10.

2. Нахождение высоты CH:

   Из определения тангенса угла A в треугольнике ACH:

   \[\tan A = \frac{CH}{AH}.\]

   Подставим известные значения:

   \[\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CH}{10}.\]

   Выразим CH:

   \[CH = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}.\]

3. Нахождение AC по теореме Пифагора:

   В прямоугольном треугольнике ACH:

   \[AC^2 = AH^2 + CH^2.\]

   Подставим значения:

   \[AC^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2 = 100 + 25 \cdot 5 = 100 + 125 = 225.\]

   Найдем AC:

   \[AC = \sqrt{225} = 15 \cdot 2 = 30.\]

Ответ: 30