В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠BAC = 60°, отрезок AD – биссектриса, отрезок CD на 3 см меньше отрезка BD. Найдите биссектрису AD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как ∠C = 90° и ∠BAC = 60°, то ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.

2. AD - биссектриса угла BAC, следовательно, ∠BAD = ∠CAD = 60° / 2 = 30°.

3. Рассмотрим треугольник ADC. Так как ∠C = 90° и ∠CAD = 30°, то ∠ADC = 180° - 90° - 30° = 60°.

4. Рассмотрим треугольник ABD. Так как ∠BAD = 30° и ∠B = 30°, то треугольник ABD - равнобедренный, и AD = BD.

5. Пусть CD = x, тогда BD = x + 3. Так как AD = BD, то AD = x + 3.

6. Рассмотрим треугольник ADC. Используем тангенс угла CAD:

\[\tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AC}\] \[\tan(30^\circ) = \frac{x}{AC}\]

Отсюда выразим AC:

\[AC = \frac{x}{\tan(30^\circ)} = x\sqrt{3}\]

7. Рассмотрим треугольник ABC. Используем тангенс угла BAC:

\[\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AC}\] \[\tan(60^\circ) = \frac{x + (x + 3)}{x\sqrt{3}}\] \[\sqrt{3} = \frac{2x + 3}{x\sqrt{3}}\]

Решаем уравнение:

\[3x = 2x + 3\] \[x = 3\]

8. Находим AD:

\[AD = x + 3 = 3 + 3 = 6\]

Ответ: 6

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденное значение AD соответствует условию задачи и свойствам треугольников.

Читерский прием: Если в задаче даны углы 30° и 60°, часто можно использовать свойства прямоугольных треугольников с этими углами для упрощения решения.