4. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ — биссектриса треугольника. Найдите ка- тет АС, если ВМ = 6 см.

Ответ: \(3\sqrt{3}\) см

Решение:

1. В треугольнике ABC угол B равен: \[180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]
2. Так как BM - биссектриса, то угол ABM равен: \[60^\circ / 2 = 30^\circ\]
3. В треугольнике ABM угол AMB равен: \[180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\]
4. Угол BMC смежный с углом AMB, следовательно: \[180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\]
5. Рассмотрим треугольник BМC, найдем сторону BC, зная, что sin(60°) = BC/BM \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{6}\] \[BC = 3\sqrt{3}\]
6. В треугольнике ABC, tg A = BC/AC, следовательно, \[ AC = \frac{BC}{tg A} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3}} = 9\]

Ответ: 9 см