В треугольнике ABC из точки E стороны BC проведена прямая, параллельная высоте BD и пересекающая сторону AC в точке F. Отрезок EF делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры. Найдите EF, если BD=6, AD/DC=2/7. Ответ запишите: значение длины отрезка, умноженное на √(7/2).

Так как EF параллельна BD, треугольники CEF и CBD подобны. Обозначим коэффициент подобия через k. Тогда \(EF=k\cdot BD=6k\), а отношение площадей подобных треугольников равно \(k^2\).

Из условия \(AD:DC=2:7\), поэтому \(AC=9\) частей и \(\frac{DC}{AC}=\frac{7}{9}\). Следовательно, \(\frac{S_{CBD}}{S_{ABC}}=\frac{7}{9}\).

Треугольник CEF составляет половину площади треугольника ABC:

\[\frac{S_{CEF}}{S_{ABC}}=\frac12.\]

С другой стороны,

\[\frac{S_{CEF}}{S_{ABC}}=k^2\cdot\frac79.\]

Значит,

\[k^2\cdot\frac79=\frac12,\qquad k^2=\frac9{14},\qquad k=\frac3{\sqrt{14}}.\]

Тогда

\[EF=6\cdot\frac3{\sqrt{14}}=\frac{18}{\sqrt{14}}.\]

Требуемое значение:

\[EF\sqrt{\frac72}=\frac{18}{\sqrt{14}}\sqrt{\frac72}=9.\]

Ответ: 9