В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 45°. Отрезок CE пересекает сторону AB, ∠CEA = 90°. На сторонах AB и AC взяты точки P и M так, что M — середина AC и PM ⟂ AC, PM = EA. Найдите угол EAC.

Условие противоречиво: указанной конфигурации не существует.

1. Так как \(\angle C=90^\circ\) и \(\angle B=45^\circ\), то \(\angle A=45^\circ\), следовательно, \(AC=BC\).
2. Введём координаты: \(C=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(B=(0,a)\). Тогда сторона \(AB\) имеет уравнение \(x+y=a\).
3. Поскольку \(\angle CEA=90^\circ\), прямая \(CE\) перпендикулярна \(AB\). Поэтому \(CE\) имеет уравнение \(y=x\). Отсюда \(E=(a/2,a/2)\), то есть \(E\) — середина \(AB\).
4. Точка \(M\) — середина \(AC\), поэтому \(M=(a/2,0)\). Условие \(PM\perp AC\) означает, что \(P\) имеет ту же абсциссу: \(P=(a/2,a/2)\). Значит, \(P=E\).
5. Следовательно, \(PM=a/2\), а \(EA=\sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2}=a/\sqrt2\). Эти величины не равны, поскольку \(a/2\ne a/\sqrt2\).

Ответ: при приведённом условии решения нет; вероятно, в условии допущена опечатка.