В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54, ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике BHC:

1. Найдем угол HBC: \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle ACB = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
2. В треугольнике ABC BM — медиана, значит, \( AM = MC = \frac{1}{2} AC \).
3. Так как \( AC = 216 \), то \( MC = \frac{216}{2} = 108 \).
4. Найдем длину отрезка MH: \( MH = MC - HC = 108 - 54 = 54 \).
5. В прямоугольном треугольнике BHC найдем высоту BH: \( BH = HC \cdot \tan(\angle ACB) = 54 \cdot \tan(40^{\circ}) \).
6. В прямоугольном треугольнике BHM найдем угол AMB (угол BMH).
7. \( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} = \frac{54 \cdot \tan(40^{\circ})}{54} = \tan(40^{\circ}) \).
8. Следовательно, \( \angle AMB = 40^{\circ} \).

Ответ: 40.