В треугольнике ABC: AB = 10, AC = 14, ∠A = 60°. Точки B₁ и C₁ — середины сторон AC и AB соответственно. Медианы BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Найти площадь треугольника BOC.

Так как точка O — точка пересечения медиан, она является центроидом треугольника ABC.

1. Найдём площадь треугольника ABC по двум сторонам и углу между ними:

   \[S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle A\]

   \[S_{ABC}=\frac12\cdot10\cdot14\cdot\sin60^\circ=70\cdot\frac{\sqrt3}{2}=35\sqrt3.\]

2. Центроид делит треугольник на шесть равновеликих частей. Треугольник BOC состоит из двух таких частей, поэтому:

   \[S_{BOC}=\frac13S_{ABC}.\]

3. Подставим найденную площадь:

   \[S_{BOC}=\frac13\cdot35\sqrt3=\frac{35\sqrt3}{3}.\]

Ответ: \(\frac{35\sqrt3}{3}\).