В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный, укажите его основание. Отрезок BM – высота данного треугольника. Найдите длины, на которые она делит угол ABC.

Решение:

• 1. Доказательство равнобедренности треугольника:
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• \[ \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 70° - 55° = 55° \]
• Так как ∠B = ∠C = 55°, то треугольник ABC является равнобедренным.
• Основание: Сторона, противолежащая вершине, из которой проведены равные углы. В данном случае это сторона AC, так как углы при ней равны.
• 2. Нахождение углов, на которые высота BM делит угол ABC:
• Высота BM перпендикулярна основанию AC, значит ∠BMC = 90°.
• В прямоугольном треугольнике ABM: ∠ABM = 90° - ∠A = 90° - 70° = 20°.
• В прямоугольном треугольнике CBM: ∠CBM = 90° - ∠C = 90° - 55° = 35°.
• Угол ABC = ∠ABM + ∠CBM = 20° + 35° = 55°.
• Высота BM делит угол ABC на два угла: ∠ABM = 20° и ∠CBM = 35°.

Ответ: Треугольник равнобедренный с основанием AC. Высота BM делит угол ABC на углы 20° и 35°.