В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти AC и расстояние от точки D до стороны BC.

В треугольнике ABC угол A = 90°, угол B = 60°. Следовательно, угол C = 180° - 90° - 60° = 30°.

В треугольнике DBC угол DBC = 30°, угол C = 30°. Следовательно, треугольник DBC - равнобедренный, и DB = DC.

Рассмотрим треугольник ABD. Угол A = 90°, угол ABD = угол ABC - угол DBC = 60° - 30° = 30°. Значит, треугольник ABD - прямоугольный с углом ABD = 30°.

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, AD = DB/2. Так как AD = 4 см, то DB = 2 * AD = 2 * 4 = 8 см.

Так как DB = DC, то DC = 8 см. Тогда AC = AD + DC = 4 + 8 = 12 см.

Теперь найдем расстояние от точки D до стороны BC. Обозначим это расстояние как DH, где H лежит на BC. Тогда DH - высота треугольника DBC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC. Угол C = 30°, гипотенуза DC = 8 см. Катет DH лежит против угла C, то есть DH = DC/2 = 8/2 = 4 см.

Ответ: AC = 12 см, расстояние от точки D до BC = 4 см