В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AB\) отметили произвольную точку \(M\). В треугольнике \(AMC\) провели биссектрису \(MK\). В треугольнике \(BMC\) построили высоту \(MP\). Угол \(KMP\) равен \(90^\circ\), \(BM = 14\). Найдите \(MC\).

Ответ: 14

Разбираемся:

1. Рассмотрим треугольник \(KMC\).
2. \(MP\) - высота, \(MK\) - биссектриса и \(\angle KMP = 90^\circ\). Значит, в треугольнике \(KMC\) высота и биссектриса, проведенные из вершины \(M\), перпендикулярны. Следовательно, треугольник \(KMC\) - равнобедренный и \(MK = MC\).
3. Так как \(MK\) - биссектриса угла \(AMC\), то \(\angle AMK = \angle KMC\).
4. В равнобедренном треугольнике \(KMC\) углы при основании равны, то есть \(\angle MKC = \angle MCK\).
5. Следовательно, \(\angle AMC = \angle AMK + \angle KMC = 2\angle KMC\), а \(\angle C = \angle MCK = \angle MKC\).
6. Рассмотрим треугольник \(BMC\). \(MP\) - высота, значит, \(\angle MPC = 90^\circ\).
7. Так как \(\angle KMP = 90^\circ\), то \(\angle KMC + \angle PMC = 90^\circ\).
8. Тогда \(\angle PMC = 90^\circ - \angle KMC\).
9. В треугольнике \(BMC\) сумма углов равна \(180^\circ\), то есть \(\angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^\circ\).
10. Значит, \(\angle MBC = 180^\circ - \angle MCB - \angle BMC\).
11. \(\angle BMC = \angle BMP + \angle PMC = \angle BMP + 90^\circ - \angle KMC\).
12. Тогда \(\angle MBC = 180^\circ - \angle MCB - (\angle BMP + 90^\circ - \angle KMC) = 90^\circ - \angle MCB - \angle BMP + \angle KMC\).
13. Рассмотрим треугольник \(BMK\). В нем \(\angle BMK + \angle BKM + \angle MBK = 180^\circ\).
14. Так как \(\angle BMK = \angle BMP\), то \(\angle BMP + \angle BKM + \angle MBK = 180^\circ\).
15. Тогда \(\angle MBK = 180^\circ - \angle BMP - \angle BKM\).
16. Сравним \(\angle MBC\) и \(\angle MBK\). Получаем, что \(\angle MBC = \angle MBK\), то есть \(B\) лежит на одной прямой.
17. Значит, точки \(M\), \(K\) и \(C\) лежат на одной прямой.
18. Следовательно, \(MC = BM = 14\).

Ответ: 14

Цифровой атлет в деле! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро