348. В треугольнике \( ABC \) угол \( B \) — прямой. Найдите \( AC \), если: a) \( cos A = 0.6, BA = 12 \); б) \( cos A = 0.8, BC = 18 \); в) \( sin A = \frac{5}{13}, BC = 10 \); г) \( sin A = \frac{5}{13}, BA = 36 \); д) \( tg A = 0.75, BA = 8 \); e) \( tg A = 2.4, BC = 12 \).

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( B \) нужно найти гипотенузу \( AC \) по заданным условиям.

a) \( cos A = 0.6, BA = 12 \)

Косинус угла \( A \) равен отношению прилежащего катета \( BA \) к гипотенузе \( AC \):

\[ cos A = \frac{BA}{AC} \]

Подставляем известные значения:

\[ 0.6 = \frac{12}{AC} \]

Выражаем \( AC \):

\[ AC = \frac{12}{0.6} = 20 \]

б) \( cos A = 0.8, BC = 18 \)

В данном случае, у нас есть \( cos A \) и противолежащий катет \( BC \). Нам нужно найти прилежащий катет \( AB \), чтобы потом использовать теорему Пифагора.

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ sin^2 A + cos^2 A = 1 \] \[ sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - 0.8^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6 \]

Теперь используем синус угла \( A \):

\[ sin A = \frac{BC}{AC} \] \[ 0.6 = \frac{18}{AC} \]

Выражаем \( AC \):

\[ AC = \frac{18}{0.6} = 30 \]

в) \( sin A = \frac{5}{13}, BC = 10 \)

Синус угла \( A \) равен отношению противолежащего катета \( BC \) к гипотенузе \( AC \):

\[ sin A = \frac{BC}{AC} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{5}{13} = \frac{10}{AC} \]

Выражаем \( AC \):

\[ AC = \frac{10 \cdot 13}{5} = 26 \]

г) \( sin A = \frac{5}{13}, BA = 36 \)

В данном случае, у нас есть \( sin A \) и прилежащий катет \( BA \). Нам нужно найти противолежащий катет \( BC \), чтобы потом использовать теорему Пифагора.

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ sin^2 A + cos^2 A = 1 \] \[ cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \]

Теперь используем косинус угла \( A \):

\[ cos A = \frac{BA}{AC} \] \[ \frac{12}{13} = \frac{36}{AC} \]

Выражаем \( AC \):

\[ AC = \frac{36 \cdot 13}{12} = 39 \]

д) \( tg A = 0.75, BA = 8 \)

Тангенс угла \( A \) равен отношению противолежащего катета \( BC \) к прилежащему катету \( BA \):

\[ tg A = \frac{BC}{BA} \]

Подставляем известные значения:

\[ 0.75 = \frac{BC}{8} \]

Выражаем \( BC \):

\[ BC = 0.75 \cdot 8 = 6 \]

Теперь используем теорему Пифагора:

\[ AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

e) \( tg A = 2.4, BC = 12 \)

Тангенс угла \( A \) равен отношению противолежащего катета \( BC \) к прилежащему катету \( BA \):

\[ tg A = \frac{BC}{BA} \]

Подставляем известные значения:

\[ 2.4 = \frac{12}{BA} \]

Выражаем \( BA \):

\[ BA = \frac{12}{2.4} = 5 \]

Теперь используем теорему Пифагора:

\[ AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Ответ: a) 20; б) 30; в) 26; г) 39; д) 10; e) 13

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!