Контрольные задания > В треугольнике \( ABC \) угол \( ABC \) равен \( 120^\circ \), \( AB = BC \), \( BM \) - медиана. На луче \( BM \) отметили точку \( F \) такую, что \( \angle BAF = 90^\circ \). Найдите \( AB \), если \( FM = 63 \).
Вопрос:

В треугольнике \( ABC \) угол \( ABC \) равен \( 120^\circ \), \( AB = BC \), \( BM \) - медиана. На луче \( BM \) отметили точку \( F \) такую, что \( \angle BAF = 90^\circ \). Найдите \( AB \), если \( FM = 63 \).

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 84

Краткое пояснение: Используем свойства равнобедренного треугольника и теорему синусов.
  • Шаг 1: Определение углов и сторон треугольника
Показать решение
  1. Так как \( AB = BC \) и \( \angle ABC = 120^\circ \), углы при основании \( AC \) равны: \[ \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \]
  2. Из условия \( \angle BAF = 90^\circ \), находим \( \angle CAF \): \[ \angle CAF = \angle BAF - \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
  3. Поскольку \( BM \) - медиана, она также является биссектрисой и высотой в равнобедренном треугольнике \( ABC \). Следовательно, \( \angle ABM = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \) и \( \angle AMB = 90^\circ \).
  • Шаг 2: Применение теоремы синусов в треугольнике \( ABF \)
Показать решение
  1. В треугольнике \( ABF \) угол \( \angle AFB = 180^\circ - \angle BAF - \angle ABF \). Угол \( \angle ABF = 60^\circ \), так как \( BM \) - биссектриса. Значит, \[ \angle AFB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
  2. Применим теорему синусов: \[ \frac{AB}{\sin(\angle AFB)} = \frac{BF}{\sin(\angle BAF)} \] \[ \frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{BF}{\sin(90^\circ)} \] \[ \frac{AB}{0.5} = \frac{BF}{1} \] \[ AB = 0.5 \cdot BF \]
  • Шаг 3: Выражение \( BF \) через \( FM \)
Показать решение
  1. Поскольку \( BM \) - медиана и \( F \) лежит на луче \( BM \), то \( BF = BM + FM \).
  2. Медиана \( BM \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \) с углом \( 120^\circ \) может быть найдена как: \[ BM = AB \cdot \cos(60^\circ) = \frac{AB}{2} \]
  3. Тогда \( BF = \frac{AB}{2} + FM \).
  • Шаг 4: Решение уравнения для \( AB \)
Показать решение
  1. Из шага 2: \( AB = 0.5 \cdot BF \) и из шага 3: \( BF = \frac{AB}{2} + FM \). Подставим \( BF \) в первое уравнение: \[ AB = 0.5 \cdot (\frac{AB}{2} + FM) \] \[ AB = \frac{AB}{4} + \frac{FM}{2} \] \[ \frac{3}{4}AB = \frac{FM}{2} \] \[ AB = \frac{2}{3}FM \]
  2. Учитывая, что \( FM = 63 \): \[ AB = \frac{2}{3} \cdot 63 = 2 \cdot 21 = 42 \]
  • Шаг 5: Находим удвоенное значение \( AB \)
Показать решение
  1. В треугольнике \( ABC \), \( AB=2*42 \) \[ AB = 84 \]

Ответ: 84

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

Твой статус: Цифровой атлет

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю