В треугольниках ABD и MNP известны стороны: AB = 4, BD = 6, AD = 7. MN = 8, MP = 14. Найдите длину стороны NP, если ∠M = ∠A.

Так как ∠M = ∠A, и известны стороны треугольников ABD и MNP, можно использовать теорему косинусов для нахождения косинуса угла A (и, следовательно, угла M), а затем использовать этот косинус для нахождения NP.

Сначала найдем косинус угла A в треугольнике ABD:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 cdot AB cdot AD cdot cos{A}$$ $$6^2 = 4^2 + 7^2 - 2 cdot 4 cdot 7 cdot cos{A}$$ $$36 = 16 + 49 - 56 cdot cos{A}$$ $$56 cdot cos{A} = 16 + 49 - 36$$ $$56 cdot cos{A} = 29$$ $$cos{A} = \frac{29}{56}$$

Теперь, зная, что ∠M = ∠A, найдем сторону NP в треугольнике MNP:

$$NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 cdot MN cdot MP cdot cos{M}$$ $$NP^2 = 8^2 + 14^2 - 2 cdot 8 cdot 14 cdot \frac{29}{56}$$ $$NP^2 = 64 + 196 - 224 cdot \frac{29}{56}$$ $$NP^2 = 260 - 4 cdot 29$$ $$NP^2 = 260 - 116$$ $$NP^2 = 144$$ $$NP = \sqrt{144}$$ $$NP = 12$$

Ответ: 12