В треугольниках ABC и DEF равны: радиусы вписанных окружностей; углы при вершинах A и D; стороны AC и DF. Точки P и Q — центры вписанных окружностей, M и N — общие точки окружностей со сторонами AC и DF. Дополните подходящими обоснованиями последовательность утверждений, доказывающую равенство треугольников ABC и DEF. 1. ∠MAP = ∠NDQ 2. ∠AMP = ∠DNQ = 90° 3. △AMP = △DNQ 4. CM = FN 5. △CMP = △FNQ 6. ∠MCP = ∠NFQ 7. ∠ACB = ∠DFE 8. △ABC = △DEF

Решение:

Заполним пропуски, обосновывая каждое утверждение:

1. ∠MAP = ∠NDQ — По условию, равны углы при вершинах A и D.
2. ∠AMP = ∠DNQ = 90° — Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. P и Q — центры вписанных окружностей, M и N — точки касания со сторонами AC и DF.
3. △AMP = △DNQ — По гипотенузе и острому углу (AC = DF — по условию, ∠MAP = ∠NDQ).
4. CM = FN — Так как AM = DN (из равенства треугольников △AMP и △DNQ) и AC = DF (по условию), то AC – AM = DF – DN, что означает CM = FN.
5. △CMP = △FNQ — По двум катетам (CM = FN — доказано выше; PM = QN — радиусы вписанных окружностей равны по условию).
6. ∠MCP = ∠NFQ — Из равенства треугольников △CMP и △FNQ (по двум катетам).
7. ∠ACB = ∠DFE — Углы при вершинах C и F являются углами треугольников △ABC и △DEF. Так как ∠MCP и ∠NFQ — это те же самые углы (∠ACB и ∠DFE), то они равны.
8. △ABC = △DEF — По двум сторонам и углу между ними (AC = DF — по условию; ∠ACB = ∠DFE — доказано выше; ∠BAC = ∠EDF — по условию).

Ответ: 1. По условию; 2. По свойству касательной; 3. По гипотенузе и острому углу; 4. Вычитанием равных отрезков из равных; 5. По двум катетам; 6. Из равенства треугольников △CMP и △FNQ; 7. Углы △ABC и △DEF равны; 8. По двум сторонам и углу между ними.