Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВ треугольник вписана окружность. Вычисли неизвестные углы, если ∠OMN = 27° и ∠ONL = 29°.
Ответ:
Решение:
В треугольнике AML окружность вписана. Точки касания окружности со сторонами треугольника - A, B, C.
OM — биссектриса угла AML (по свойству биссектрис углов при основании равнобедренного треугольника, в данном случае треугольник M N L, хотя он не обязательно равнобедренный, но O — центр вписанной окружности, поэтому OM, ON, OL — биссектрисы).
ON — биссектриса угла MNL.
OL — биссектриса угла MLN.
По условию \( \angle OMN = 27^{\circ} \) и \( \angle ONL = 29^{\circ} \). Следовательно, \( \angle AML = 2 \cdot \angle OMN = 2 \cdot 27^{\circ} = 54^{\circ} \).
В треугольнике MNL сумма углов равна 180°. \( \angle MNL + \angle NLM + \angle LMN = 180^{\circ} \).
Нам неизвестно \( \angle MNL \) и \( \angle NLM \).
Однако, если O - центр вписанной окружности, то OA, OB, OC - радиусы, проведенные в точки касания. Поэтому \( \angle OAC = \angle OAB = \angle OBC = \angle OBA = \angle OCB = \angle OCA = 90^{\circ} \).
Рассмотрим треугольник MON. \( \angle MON = 180^{\circ} - \angle OMN - \angle ONM \). \( \angle ONM = \angle ONL = 29^{\circ} \). \( \angle MON = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 29^{\circ} = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \).
Рассмотрим треугольник NOL. \( \angle NOL = 180^{\circ} - \angle ONL - \angle OLN \). \( \angle OLN = \angle OLM = 29^{\circ} \). \( \angle NOL = 180^{\circ} - 29^{\circ} - 29^{\circ} = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \).
Рассмотрим треугольник MOL. \( \angle MOL = 180^{\circ} - \angle OML - \angle OLM \). \( \angle OML = \angle OMN = 27^{\circ} \). \( \angle OLM = \angle OLN = 29^{\circ} \). \( \angle MOL = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 29^{\circ} = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \).
В треугольнике AML, \( \angle AML = 54^{\circ} \).
В треугольнике MNL, \( \angle NML = 54^{\circ} \).
В треугольнике MNL, \( \angle MNL = 2 \cdot \angle ONL = 2 \cdot 29^{\circ} = 58^{\circ} \) (если ON биссектриса).
Угол \( \angle MLN = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 58^{\circ} = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ} \).
Тогда \( \angle OLN = \angle OLM = 68^{\circ} / 2 = 34^{\circ} \).
Однако, по условию \( \angle ONL = 29^{\circ} \), что означает \( \angle MNL = 58^{\circ} \).
В треугольнике MON, \( \angle MNO = \angle ONL = 29^{\circ} \). \( \angle OMN = 27^{\circ} \). \( \angle MON = 180^{\circ} - (27^{\circ} + 29^{\circ}) = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \).
В треугольнике NOL, \( \angle ONL = 29^{\circ} \). \( \angle OLN = ? \). \( \angle NOL = ? \).
В треугольнике MOL, \( \angle OLM = ? \). \( \angle OML = 27^{\circ} \). \( \angle MOL = ? \).
\( \angle AML = 2 \cdot \angle OMN = 2 \cdot 27^{\circ} = 54^{\circ} \).
\( \angle MNL = 2 \cdot \angle ONL = 2 \cdot 29^{\circ} = 58^{\circ} \).
\( \angle MLN = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 58^{\circ}) = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ} \).
Углы при центре вписанной окружности: \( \angle MON = 180^{\circ} - \frac{\angle LMN + \angle MNL}{2} = 180^{\circ} - \frac{54^{\circ} + 58^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \).
\( \angle NOL = 180^{\circ} - \frac{\angle MNL + \angle MLN}{2} = 180^{\circ} - \frac{58^{\circ} + 68^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \).
\( \angle MOL = 180^{\circ} - \frac{\angle MLN + \angle LMN}{2} = 180^{\circ} - \frac{68^{\circ} + 54^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ} \).
Проверка: \( 124^{\circ} + 117^{\circ} + 119^{\circ} = 360^{\circ} \).
Теперь найдем искомые углы \( \angle AOC \), \( \angle AOB \), \( \angle COB \).
A, B, C — точки касания. OA, OB, OC — радиусы. \( OA \perp ML \), \( OB \perp NL \), \( OC \perp MN \).
В четырехугольнике OAC M, \( \angle OAM = \angle OCM = 90^{\circ} \). \( \angle AMC = \angle LMN = 54^{\circ} \). \( \angle AOC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).
В четырехугольнике OBN L, \( \angle OBN = \angle OLN = 90^{\circ} \). \( \angle BNL = \angle MNL = 58^{\circ} \). \( \angle BOL = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 58^{\circ} = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \).
В четырехугольнике OCB N, \( \angle OCB = \angle OBN = 90^{\circ} \). \( \angle CNB = \angle MNL = 58^{\circ} \). \( \angle COB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 58^{\circ} = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \).
В четырехугольнике OACN, \( \angle OAC = \angle OCN = 90^{\circ} \). \( \angle ACN = \angle NLM = 68^{\circ} \). \( \angle AON = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 68^{\circ} = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ} \).
В четырехугольнике OABM, \( \angle OAM = \angle OBM = 90^{\circ} \). \( \angle AMB = \angle AML = 54^{\circ} \). \( \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).
В четырехугольнике OCB L, \( \angle OCB = \angle OBL = 90^{\circ} \). \( \angle CBL = \angle MLN = 68^{\circ} \). \( \angle COB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 68^{\circ} = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ} \).
Проверим, что \( \angle AOC + \angle COB + \angle BOA = 360^{\circ} \).
\( \angle AOC = 126^{\circ} \).
\( \angle AOB = 126^{\circ} \).
\( \angle COB = 112^{\circ} \).
\( 126^{\circ} + 126^{\circ} + 112^{\circ} = 364^{\circ} \). Неверно.
Рассмотрим треугольники.
\( \angle LMN = 54^{\circ} \).
\( \angle MNL = 58^{\circ} \).
\( \angle MLN = 68^{\circ} \).
\( OA \perp ML \), \( OC \perp MN \), \( OB \perp NL \).
\( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle LMN = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).
\( \angle COB = 180^{\circ} - \angle MNL = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \).
\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle MLN = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ} \).
Проверка: \( 126^{\circ} + 122^{\circ} + 112^{\circ} = 360^{\circ} \).
Ответ: \( \angle AOC = 126^{\circ} \); \( \angle AOB = 112^{\circ} \); \( \angle COB = 122^{\circ} \).
