В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 9, а боковая сторона PT равна 7. Найдите площадь трапеции.

Обозначим MN = NP = a, а высоту трапеции — h. Пусть проекция стороны MN на основание MT равна x.

Тогда проекция диагонали MP на основание равна x + a, а проекция стороны PT — a − x, поскольку MT = 2a.

По теореме Пифагора для диагонали и стороны PT:

(x + a)² + h² = 81;

(a − x)² + h² = 49.

Вычтем второе равенство из первого: 4ax = 32, поэтому ax = 8.

Так как MN = a, то x² + h² = a². Подставим это в равенство для диагонали:

(x + a)² + h² = 2a² + 2ax = 81.

Следовательно, 2a² + 16 = 81, откуда a² = 32,5.

Вычислим произведение основания на высоту:

a²h² = a²(a² − x²) = a⁴ − (ax)² = 32,5² − 8² = 992,25, поэтому ah = 31,5.

Площадь трапеции равна половине суммы оснований, умноженной на высоту:

S = (NP + MT)h / 2 = (a + 2a)h / 2 = 1,5ah = 1,5 · 31,5 = 47,25.

Ответ: 47,25