В трапеции АВСD через точку О пересечения диагоналей проведён отрезок MN параллельно основаниям AD и ВС. 1. Докажи, что отрезок в точке О делится пополам (напиши выражения отрезков МО и ON через основания AD = х и ВС = у). Ответ: МО = ON =

Рассмотрим трапецию ABCD, где AD = x, BC = y, и отрезок MN проходит через точку O пересечения диагоналей AC и BD.

Отрезок MN параллелен основаниям AD и BC. Необходимо доказать, что отрезок MN делится точкой O пополам, то есть MO = ON.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA.

∠BOC = ∠DOA (как вертикальные углы)

∠OBC = ∠ODA (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD)

Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{y}{x} $$

Рассмотрим треугольники MOC и AOC.

∠MCO = ∠OAD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых MC и AD и секущей AC)

∠MOC = ∠AOD (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники MOC и AOD подобны по двум углам.

Тогда: $$ \frac{MO}{AD} = \frac{CO}{CA} $$ Отсюда: $$ MO = \frac{AD \cdot CO}{CA} $$

Аналогично, рассмотрим треугольники ONA и OCB.

$$ \frac{ON}{BC} = \frac{AO}{AC} $$ Отсюда: $$ ON = \frac{BC \cdot AO}{AC} $$

Из равенства $$ \frac{CO}{OA} = \frac{y}{x} $$, следует, что $$ \frac{CO}{CA} = \frac{y}{x + y} $$ и $$ \frac{AO}{AC} = \frac{x}{x + y} $$

Следовательно, $$ MO = \frac{x \cdot y}{x + y} $$ и $$ ON = \frac{y \cdot x}{x + y} $$

Таким образом, MO = ON.

$$MO = ON = \frac{xy}{x+y}$$

Ответ: $$MO = ON = \frac{xy}{x+y}$$