В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, BC: AD = 4:5, BD = 36 см. Найдите ВО и OD.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA.

Угол BOC = углу DOA (как вертикальные), угол CBO = углу ODA (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD).

Следовательно, треугольник BOC подобен треугольнику DOA (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}$$.

По условию BC:AD = 4:5, значит, $$\frac{BO}{OD} = \frac{4}{5}$$.

Пусть BO = 4x, тогда OD = 5x.

BD = BO + OD, значит, 36 = 4x + 5x.

Решим уравнение:

9x = 36

x = 4

BO = 4 ∙ 4 = 16 см

OD = 5 ∙ 4 = 20 см

Ответ: BO = 16 см, OD = 20 см.