Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 24.
Ответ:
1. Пусть O - центр окружности, R - её радиус. Так как окружность касается CD, расстояние от O до CD равно R. Так как A и B лежат на окружности, OA = OB = R. Треугольник AOB равнобедренный.
2. Сумма углов при основании AD равна 90°, значит, углы при основании BC тоже равны 90° (так как трапеция ABCD, AD || BC, сумма углов при боковой стороне равна 180°). Это означает, что трапеция прямоугольная, и CD является высотой. Следовательно, CD = 2.
3. Так как A и B лежат на окружности, и CD касается окружности, то CD является касательной. Если CD касается окружности в точке T, то OT перпендикулярно CD. Так как CD - высота, CD перпендикулярно AD и BC.
4. Пусть центр окружности O лежит на середине AB. Тогда AB является диаметром, R = 12. Но окружность должна касаться CD. Если R=12, то расстояние от O до CD равно 12. Но CD=2. Это противоречие.
5. Пусть центр окружности O лежит на прямой, параллельной CD и AB, на расстоянии R от CD. Пусть координаты точек будут A=(-17, h), B=(7, h), C=(x, 0), D=(y, 0). AD=34, BC=2. CD=2. Углы при AD равны 90°, значит, трапеция прямоугольная. AD и BC - основания. CD - высота. CD=2. AD=34, BC=2. AB=24. Это противоречие в условии. AD и BC - основания, значит, AD || BC. Если углы при основании AD равны 90°, то трапеция прямоугольная, и боковые стороны перпендикулярны основаниям. Значит, AB и CD - боковые стороны. Но в условии сказано, что AB=24, а CD - прямая, которую касается окружность. Если AD и BC - основания, то AB и CD - боковые стороны. Если углы при основании AD равны 90°, то AB перпендикулярно AD и BC. Тогда AB - высота. AB=24. AD=34, BC=2. Окружность проходит через A и B, и касается CD. Радиус окружности R. Центр O. Расстояние от O до CD равно R. OA=OB=R. Треугольник AOB равнобедренный. Если AB - высота, то AB перпендикулярно AD и BC. Пусть AD лежит на оси X. A=(0,0), D=(34,0). B=(0,24), C=(2,24). CD - прямая x=2. Окружность проходит через (0,0) и (0,24). Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к AB, который является прямой y=12. Центр O=(x, 12). Радиус R = OA = sqrt(x^2 + 12^2). Окружность касается прямой x=2. Расстояние от O=(x,12) до x=2 равно |x-2|. Значит, R = |x-2|. sqrt(x^2 + 144) = |x-2|. x^2 + 144 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4. 144 = -4x + 4. 140 = -4x. x = -35. R = |-35 - 2| = |-37| = 37. Проверка: R = sqrt((-35)^2 + 144) = sqrt(1225 + 144) = sqrt(1369) = 37. Ответ: 37.
2. Сумма углов при основании AD равна 90°, значит, углы при основании BC тоже равны 90° (так как трапеция ABCD, AD || BC, сумма углов при боковой стороне равна 180°). Это означает, что трапеция прямоугольная, и CD является высотой. Следовательно, CD = 2.
3. Так как A и B лежат на окружности, и CD касается окружности, то CD является касательной. Если CD касается окружности в точке T, то OT перпендикулярно CD. Так как CD - высота, CD перпендикулярно AD и BC.
4. Пусть центр окружности O лежит на середине AB. Тогда AB является диаметром, R = 12. Но окружность должна касаться CD. Если R=12, то расстояние от O до CD равно 12. Но CD=2. Это противоречие.
5. Пусть центр окружности O лежит на прямой, параллельной CD и AB, на расстоянии R от CD. Пусть координаты точек будут A=(-17, h), B=(7, h), C=(x, 0), D=(y, 0). AD=34, BC=2. CD=2. Углы при AD равны 90°, значит, трапеция прямоугольная. AD и BC - основания. CD - высота. CD=2. AD=34, BC=2. AB=24. Это противоречие в условии. AD и BC - основания, значит, AD || BC. Если углы при основании AD равны 90°, то трапеция прямоугольная, и боковые стороны перпендикулярны основаниям. Значит, AB и CD - боковые стороны. Но в условии сказано, что AB=24, а CD - прямая, которую касается окружность. Если AD и BC - основания, то AB и CD - боковые стороны. Если углы при основании AD равны 90°, то AB перпендикулярно AD и BC. Тогда AB - высота. AB=24. AD=34, BC=2. Окружность проходит через A и B, и касается CD. Радиус окружности R. Центр O. Расстояние от O до CD равно R. OA=OB=R. Треугольник AOB равнобедренный. Если AB - высота, то AB перпендикулярно AD и BC. Пусть AD лежит на оси X. A=(0,0), D=(34,0). B=(0,24), C=(2,24). CD - прямая x=2. Окружность проходит через (0,0) и (0,24). Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к AB, который является прямой y=12. Центр O=(x, 12). Радиус R = OA = sqrt(x^2 + 12^2). Окружность касается прямой x=2. Расстояние от O=(x,12) до x=2 равно |x-2|. Значит, R = |x-2|. sqrt(x^2 + 144) = |x-2|. x^2 + 144 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4. 144 = -4x + 4. 140 = -4x. x = -35. R = |-35 - 2| = |-37| = 37. Проверка: R = sqrt((-35)^2 + 144) = sqrt(1225 + 144) = sqrt(1369) = 37. Ответ: 37.
