В трапеции ABCD основания AD и BC равны 11 и 7 соответственно, боковые стороны равны 5 и 7. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке N. Найдите MN.

Дано: \(AD=11\), \(BC=7\), \(AB=7\), \(CD=5\).

Так как точки \(M\) и \(N\) лежат на биссектрисах соседних углов, то в треугольнике \(ABM\) углы при \(A\) и \(B\) равны половинам углов трапеции. Поскольку \(AD\parallel BC\), эти углы в сумме дают \(90^\circ\). Значит, \(\angle AMB=90^\circ\).

Следовательно, \(M\) — центр окружности, вписанной в угол между прямыми \(AB\) и основаниями. Аналогично \(N\) — соответствующий центр для правой части трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно высоте трапеции \(h\).

Уменьшение длины основания при переходе от \(AD\) к \(BC\) равно

\(AD-BC=11-7=4\).

Пусть горизонтальные проекции боковых сторон равны \(x\) и \(y\). Тогда

\(x+y=4\),

\(x^2+h^2=7^2\),

\(y^2+h^2=5^2\).

Вычитая второе равенство из первого, получаем

\(x^2-y^2=49-25=24\),

\((x-y)(x+y)=24\).

Так как \(x+y=4\), то

\(x-y=6\).

Отсюда \(x=5\), \(y=-1\) по направленным проекциям. Тогда

\(h^2=7^2-5^2=49-25=24\), поэтому \(h=2\sqrt6\).

Введём координаты: \(A=(0.0)\), \(D=(11.0)\), \(B=(5.h)\), \(C=(12.h)\). Биссектрисы углов при \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(M\), а биссектрисы при \(C\) и \(D\) — в точке \(N\). Из равенства расстояний до сторон соответствующих углов следует, что отрезок \(MN\) параллелен основаниям и находится посередине между ними.

Его длина равна половине разности оснований:

\(MN=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{11-7}{2}=2\).

Ответ: \(MN=2\).