В трапеции АBCD диагональ АС равна боковой стороне CD. Диагональ BD является биссектрисой угла ADC. Из точки А проведена высота AL трапеции, а из точки с опущен перпендикуляр СК на прямую BD. а) Докажите, что треугольники ALB и СКВ подобны. б) Найдите АВ, если известно, что BD = 35√2 и АС = 25.

Рассмотрим задачу по геометрии для трапеции ABCD.

1. Пункт а) Доказательство подобия треугольников ALB и СКВ

   Дано: ABCD – трапеция, AC = CD, BD – биссектриса угла ADC, AL ⊥ BC, CK ⊥ BD.

   Доказать: ΔALB ~ ΔCKB.

   Доказательство:

   • Т.к. AL и CK перпендикулярны к прямым BC и BD соответственно, то углы ALB и СКВ прямые, то есть ∠ALB = ∠CKB = 90°.
   • В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны. Диагональ BD является секущей для этих параллельных прямых, следовательно, внутренние накрест лежащие углы CBD и BDA равны: ∠CBD = ∠BDA.
   • По условию BD – биссектриса угла ADC, значит, ∠ADB = ∠CDB. Т.к. ∠CBD = ∠BDA, то ∠CBD = ∠CDB.
   • Следовательно, треугольники ALB и СКВ подобны по двум углам (∠ALB = ∠CKB = 90° и ∠LBA = ∠CBK).

   Что и требовалось доказать.

2. Пункт б) Найти АВ, если известно, что BD = 35√2 и АС = 25.

   Дано: BD = 35√2, AC = 25.

   Найти: AB.

   Решение:

   • Т.к. AC = CD, то треугольник ACD – равнобедренный, следовательно, углы CAD и CDA равны: ∠CAD = ∠CDA.
   • Т.к. BD – биссектриса угла ADC, то ∠ADB = ∠CDB = ∠CDA/2.
   • Углы CAD и ADB являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей BD, значит, ∠CAD = ∠ADB. Следовательно, ∠CDA = ∠CDA/2, что возможно только если ∠CDA = 60°. Тогда ∠CDB = 30°.
   • Рассмотрим треугольник CDB. В нем ∠CDB = 30°, ∠DCB = 180° - ∠CDA = 120°. Следовательно, ∠CBD = 180° - 120° - 30° = 30°. Значит, треугольник CDB – равнобедренный, и CD = CB = AC = 25.
   • Т.к. трапеция ABCD – равнобедренная (AC = CD), то AB = CD = 25.

Ответ: 25