В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=14° и ∠BDC=106°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как \( AB=CD \), трапеция ABCD является равнобедренной. Это означает, что углы при основании равны, и диагонали трапеции равны.

Рассмотрим \( \triangle BCD \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle CBD = 180^{\circ} - \angle BDC - \angle BCD \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому \( \angle BCD = \angle ABC \) и \( \angle ADC = \angle BAD \).

Также, в равнобедренной трапеции диагонали равны: \( AC = BD \).

У нас есть \( \angle BDA = 14^{\circ} \) и \( \angle BDC = 106^{\circ} \).

Угол \( \angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14^{\circ} + 106^{\circ} = 120^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, \( \angle BAD = \angle ADC = 120^{\circ} \) — это неверно, углы при основаниях равны, а \( \angle BAD \) и \( \angle ADC \) — это углы при разных основаниях. Основаниями являются \( AD \) и \( BC \) или \( AB \) и \( CD \). В данной трапеции \( AD \) и \( BC \) являются основаниями, если \( AB \) и \( CD \) — боковые стороны. В условии сказано \( AB=CD \), значит, \( AB \) и \( CD \) — боковые стороны, а \( AD \) и \( BC \) — основания. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: \( \angle DAB = \angle CDA \) и \( \angle ABC = \angle BCD \).

Значит, \( \angle DAB = \angle CDA = 120^{\circ} \) — это тоже неверно. Углы при основании \( AD \) это \( \angle DAB \) и \( \angle ADC \). Углы при основании \( BC \) это \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Если \( AD \) и \( BC \) — основания, то \( \angle DAB = \angle CDA \) и \( \angle ABC = \angle BCD \).

\( \angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14^{\circ} + 106^{\circ} = 120^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle DAB = 120^{\circ} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \). Сумма углов в \( \triangle ABD \) равна \( 180^{\circ} \). Мы знаем \( \angle DAB = 120^{\circ} \) и \( \angle BDA = 14^{\circ} \).

\( \angle ABD = 180^{\circ} - \angle DAB - \angle BDA \)

\( \angle ABD = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 14^{\circ} \)

\( \angle ABD = 180^{\circ} - 134^{\circ} \)

\( \angle ABD = 46^{\circ} \)

Ответ: 46.