В тетраэдре ABCD точки М, № и К — середины ребер АС, ВС и CD соответственно, AB = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов: а) AB, BC, BD, NM, BN, NK; б) CB, BA, DB, NC, KN.

Решение:

Дан тетраэдр ABCD. M, N, K — середины ребер AC, BC, CD соответственно. Известно, что \( AB = 3 \) см, \( BC = 4 \) см, \( BD = 5 \) см.

а) Найдем длины векторов:

• \( |\vec{AB}| = 3 \) см (дано).
• \( |\vec{BC}| = 4 \) см (дано).
• \( |\vec{BD}| = 5 \) см (дано).
• \( \vec{NM} \) — средняя линия треугольника \( ABC \), соединяющая середины сторон \( BC \) и \( AC \). Следовательно, \( \vec{NM} = \frac{1}{2} \vec{AB} \). Тогда \( |\vec{NM}| = \frac{1}{2} |\vec{AB}| = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5 \) см.
• \( \vec{BN} \) — вектор, соединяющий вершину \( B \) с серединой ребра \( BC \). Следовательно, \( N \) — середина \( BC \). Тогда \( |\vec{BN}| = \frac{1}{2} |\vec{BC}| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \) см.
• \( \vec{NK} \) — средняя линия треугольника \( BCD \), соединяющая середины сторон \( BC \) и \( CD \). Следовательно, \( \vec{NK} = \frac{1}{2} \vec{BD} \). Тогда \( |\vec{NK}| = \frac{1}{2} |\vec{BD}| = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \) см.

б) Найдем длины векторов:

• \( |\vec{CB}| = |-\vec{BC}| = |\vec{BC}| = 4 \) см.
• \( |\vec{BA}| = |-\vec{AB}| = |\vec{AB}| = 3 \) см.
• \( |\vec{DB}| = |-\vec{BD}| = |\vec{BD}| = 5 \) см.
• \( \vec{NC} \) — вектор, соединяющий середину \( BC \) (точка \( N \)) с вершиной \( C \). Следовательно, \( |\vec{NC}| = \frac{1}{2} |\vec{BC}| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \) см.
• \( \vec{KN} \) — вектор, соединяющий середину \( CD \) (точка \( K \)) с серединой \( BC \) (точка \( N \)). \( \vec{KN} = -\vec{NK} \). Тогда \( |\vec{KN}| = |-\vec{NK}| = |\vec{NK}| = 2.5 \) см.

Ответ:

а) |\(\\\vec{AB}\\\)| = 3 см, |\(\\\vec{BC}\\\)| = 4 см, |\(\\\vec{BD}\\\)| = 5 см, |\(\\\vec{NM}\\\)| = 1.5 см, |\(\\\vec{BN}\\\)| = 2 см, |\(\\\vec{NK}\\\)| = 2.5 см.

б) |\(\\\vec{CB}\\\)| = 4 см, |\(\\\vec{BA}\\\)| = 3 см, |\(\\\vec{DB}\\\)| = 5 см, |\(\\\vec{NC}\\\)| = 2 см, |\(\\\vec{KN}\\\)| = 2.5 см.