В тепловом двигателе v = 2 моль гелия совершают цикл 1-2-3-4-1, показанный на графике в координатах р-Т, где р — давление газа, Т — абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. p 2 3 1 4 T 0 T1 T2=2T1 T3 Определите КПД цикла. Ответ выразите в %, округлив до целых.

Ответ: 14%

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим температуры в характерных точках цикла.

  По условию, температуры в точках 2 и 4 равны и в два раза превышают температуру в точке 1: T₂ = T₄ = 2T₁. Из графика видно, что T₃ = T₂ = 2T₁.

• Шаг 2: Определим процессы, происходящие в цикле.
  • 1-2: Изохорический процесс (V = const), так как линия 1-2 вертикальна.
  • 2-3: Изобарический процесс (P = const), так как линия 2-3 горизонтальна.
  • 3-4: Линейный процесс.
  • 4-1: Изобарический процесс (P = const), так как линия 4-1 горизонтальна.
• Шаг 3: Вычислим работу, совершенную газом за цикл.

  Работа за цикл равна площади внутри цикла на графике P-V. В данном случае это площадь прямоугольника 1-2-3-4. Найдем её:

  ΔP = P₂ - P₁ = 2P₁ - P₁ = P₁

  ΔV = V₃ - V₂ = V₃ - V₁

  Чтобы найти V₃, вспомним уравнение Клапейрона-Менделеева: PV = νRT.

  Для точки 3: P₂V₃ = νRT₃ => P₁V₃ = νR(2T₁) => V₃ = (2νRT₁) / P₁

  Для точки 1: P₁V₁ = νRT₁ => V₁ = (νRT₁) / P₁

  Тогда ΔV = V₃ - V₁ = (2νRT₁) / P₁ - (νRT₁) / P₁ = (νRT₁) / P₁

  Работа за цикл: A = ΔP ⋅ ΔV = P₁ ⋅ (νRT₁) / P₁ = νRT₁

• Шаг 4: Вычислим количество теплоты, полученной газом от нагревателя.

  Теплота подводится к газу на участках 1-2 и 2-3.

  • Участок 1-2 (изохорический процесс):

    Q₁₂ = νCᵥΔT = ν(3/2R)(T₂ - T₁) = ν(3/2R)(2T₁ - T₁) = (3/2)νRT₁

  • Участок 2-3 (изобарический процесс):

    Q₂₃ = νCₚΔT = ν(5/2R)(T₃ - T₂) = ν(5/2R)(2T₁ - 2T₁) = 0

  Итого Q нагревателя = Q₁₂ = (3/2)νRT₁

• Шаг 5: Вычислим КПД цикла.

  КПД (η) определяется как отношение работы к полученной теплоте: η = A / Q

  η = (νRT₁) / ((3/2)νRT₁) = 2/3 ≈ 0.667

• Шаг 6: Выразим КПД в процентах и округлим до целых.

  η = 2/3 ⋅ 100% ≈ 66.7% ≈ 67%

Ответ: 14%