В спортивной школе занимаются несколько девушек и в два раза больше юношей. Тренер планирует отправить на соревнования команду либо из двух девушек, либо из двух юношей. У тренера есть 112 способов выбрать команду. Сколько учащихся в спортивной школе?

Разбираем задачу

Это задача на комбинаторику. Давай разберёмся, что нам известно:

• Количество способов выбрать команду из двух девушек равно 112.
• Количество способов выбрать команду из двух юношей тоже равно 112.
• Юношей в школе в два раза больше, чем девушек.

Решение

Обозначим количество девушек как \( d \), а количество юношей как \( y \).

Из условия нам известно, что \( y = 2d \).

Количество способов выбрать команду из двух девушек вычисляется по формуле сочетаний \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n \) — общее количество элементов, \( k \) — количество выбираемых элементов.

Для девушек: \( C(d, 2) = \frac{d!}{2!(d-2)!} = \frac{d(d-1)}{2} \).

Нам известно, что \( \frac{d(d-1)}{2} = 112 \).

Решим это уравнение:

1. Умножим обе части на 2: \( d(d-1) = 224 \)
2. Это квадратное уравнение: \( d^2 - d - 224 = 0 \)
3. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-224) = 1 + 896 = 897 \)
4. \( \sqrt{897} \) не является целым числом. Это значит, что количество девушек не может быть таким, чтобы выбрать 2 из них 112 способами.

Посмотрим на количество способов выбрать команду из двух юношей. Количество способов выбрать команду из двух юношей: \( C(y, 2) = \frac{y(y-1)}{2} \).

Нам известно, что \( \frac{y(y-1)}{2} = 112 \).

Решим это уравнение:

1. Умножим обе части на 2: \( y(y-1) = 224 \)
2. Это квадратное уравнение: \( y^2 - y - 224 = 0 \)
3. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-224) = 1 + 896 = 897 \)
4. \( \sqrt{897} \) не является целым числом. Это значит, что количество юношей не может быть таким, чтобы выбрать 2 из них 112 способами.

В условии, скорее всего, ошибка. Давайте предположим, что количество способов выбрать команду из двух девушек или двух юношей было бы таким, чтобы количество учеников было целым числом. Например, если бы было 15 способов выбрать двух девушек: \( \frac{d(d-1)}{2} = 15 \) \( d(d-1) = 30 \) \( d^2 - d - 30 = 0 \) \( (d-6)(d+5) = 0 \) \( d = 6 \) (количество девушек). Тогда юношей было бы \( y = 2 \times 6 = 12 \). Количество способов выбрать двух юношей: \( \frac{12 \times 11}{2} = 66 \).

Попробуем найти целые числа, которые при перемножении дают 224.

224 = 1 * 224 = 2 * 112 = 4 * 56 = 7 * 32 = 8 * 28 = 14 * 16.

Мы ищем два последовательных числа, произведение которых равно 224. Таких целых чисел нет, потому что \( 14 \times 15 = 210 \) и \( 15 \times 16 = 240 \). Это подтверждает, что в задаче, вероятно, есть ошибка в числе 112.

Однако, если мы предположим, что 112 — это количество *способов выбрать команду, состоящую только из девушек ИЛИ только из юношей* (то есть, если тренер выбирает либо команду девушек, либо команду юношей, и общее число комбинаций для каждого типа команды равно 112), то нам нужно найти такие `d` и `y` где:

1) \( C(d, 2) = 112 \) -> \( d(d-1) = 224 \) -> нет целых решений.

2) \( C(y, 2) = 112 \) -> \( y(y-1) = 224 \) -> нет целых решений.

Давайте попробуем решить задачу, если 112 — это общее количество *различных* команд, которые можно составить ИЗ ДВУХ человек, где эти два человека могут быть либо оба девушками, либо оба юношами.

Пусть \( d \) — количество девушек, \( y \) — количество юношей.

\( y = 2d \)

Количество способов выбрать 2 девушек: \( C(d, 2) = \frac{d(d-1)}{2} \)

Количество способов выбрать 2 юношей: \( C(y, 2) = \frac{y(y-1)}{2} \)

Общее количество способов выбрать команду из двух человек (либо двух девушек, либо двух юношей) равно сумме этих двух комбинаций:

\( C(d, 2) + C(y, 2) = 112 \)

\( \frac{d(d-1)}{2} + \frac{y(y-1)}{2} = 112 \)

Подставим \( y = 2d \):

\( \frac{d(d-1)}{2} + \frac{(2d)(2d-1)}{2} = 112 \)

Умножим всё на 2:

\( d(d-1) + 2d(2d-1) = 224 \)

Раскроем скобки:

\( d^2 - d + 4d^2 - 2d = 224 \)

Приведём подобные члены:

\( 5d^2 - 3d = 224 \)

Перенесём 224 в левую часть:

\( 5d^2 - 3d - 224 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-224) = 9 + 4480 = 4489 \).

\( \sqrt{4489} = 67 \).

Теперь найдём \( d \):

\( d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 67}{2 \times 5} \)

Два возможных значения для \( d \):

1. \( d_1 = \frac{3 + 67}{10} = \frac{70}{10} = 7 \)
2. \( d_2 = \frac{3 - 67}{10} = \frac{-64}{10} = -6.4 \) (это значение не подходит, так как количество людей не может быть отрицательным)

Итак, количество девушек \( d = 7 \).

Теперь найдём количество юношей: \( y = 2d = 2 \times 7 = 14 \).

Общее количество учащихся в спортивной школе — это сумма девушек и юношей:

\( d + y = 7 + 14 = 21 \).

Проверим:

Количество способов выбрать 2 девушек: \( C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2} = 21 \).

Количество способов выбрать 2 юношей: \( C(14, 2) = \frac{14 \times 13}{2} = 7 \times 13 = 91 \).

Общее количество способов: \( 21 + 91 = 112 \). Это совпадает с условием задачи.

Ответ: 21