В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 42 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы целиком заполнить сосуд?

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота.

В данной задаче уровень жидкости достигает \( \frac{1}{2} \) высоты. Важно помнить, что объём конуса пропорционален кубу его высоты (при постоянном радиусе основания), или, наоборот, радиус основания пропорционален высоте. Рассмотрим два подобных конуса: полный конус (высота \( H \)) и конус с жидкостью (высота \( h = \frac{1}{2}H \)).

Соотношение объёмов подобных тел равно кубу отношения их линейных размеров. Пусть \( V_{полн} \) — полный объём конуса, а \( V_{жидкости} \) — объём жидкости.

Отношение высот: \( \frac{h}{H} = \frac{1}{2} \).

Отношение объёмов: \( \frac{V_{жидкости}}{V_{полн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \).

Таким образом, объём жидкости составляет \( \frac{1}{8} \) от полного объёма конуса.

Нам известно, что объём жидкости равен 42 мл. Следовательно:

\( V_{жидкости} = \frac{1}{8} V_{полн} = 42 \text{ мл} \).

Чтобы найти полный объём конуса, умножим объём жидкости на 8:

\( V_{полн} = 42 \text{ мл} \times 8 = 336 \text{ мл} \).

Чтобы узнать, сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы целиком заполнить сосуд, вычтем объём жидкости из полного объёма:

\( \text{Долить} = V_{полн} - V_{жидкости} = 336 \text{ мл} - 42 \text{ мл} = 294 \text{ мл} \).

Ответ: 294 мл.