11. В сосуд, имеющий форму конуса, объёмом 4288 мл, налили жидкость так, что её уровень 1 достиг высоты. Найди объём жидкости. Ответ 2 запиши в миллилитрах.

Решение:

Обозначим объем конуса V, а высоту H. Объем жидкости равен V1, а высота H1.

По условию задачи, V=4288 мл.

Уровень жидкости достиг 1/2 высоты, следовательно, H1 = 1/2H.

Объем конуса вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$$, где R - радиус основания конуса, а H - высота конуса.

Объем жидкости в конусе $$V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 H_1$$, где R1 - радиус поверхности жидкости, а H1 - высота жидкости.

Так как конус заполнен жидкостью на 1/2 высоты, то образуются два подобных конуса. Следовательно, радиус поверхности жидкости R1 относится к радиусу основания конуса R как высота жидкости H1 относится к высоте конуса H:

$$\frac{R_1}{R} = \frac{H_1}{H} \implies R_1 = R \cdot \frac{H_1}{H} = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$$.

Подставим выражения H1 и R1 в формулу для объема жидкости:

$$V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3} \pi (\frac{R}{2})^2 \cdot \frac{H}{2} = \frac{1}{3} \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{H}{2} = \frac{1}{8} (\frac{1}{3} \pi R^2 H) = \frac{1}{8} V$$.

Так как V=4288 мл, то объем жидкости:

$$V_1 = \frac{1}{8} V = \frac{1}{8} \cdot 4288 = 536$$ мл.

Ответ: 536